2027학년도 한양대학교 자연계열 (오후1) 모의고사 1회 - [문제 2]
2027학년도 실전 모의고사 1회 [2026학년도 기출유형]
[문제 2] 다음 제시문을 읽고 물음에 답하시오. (50점)
<가> 오른쪽 그림과 같이 \(\overline{AB}=\overline{AC}=\overline{AD}=a\)이고 \(\overline{BC}=\overline{CD}=\overline{DB}=6\)인 사면체 \(ABCD\)가 있다. 점 \(A\)에서 삼각형 \(BCD\)에 내린 수선의 발을 \(O\), 점 \(O\)를 지나고 직선 \(BC\)에 평행한 직선이 선분 \(CD\)와 만나는 점을 \(P\)라 하자. (단, \(a > 2\sqrt{3}\))
<나> 제시문 <가>에서 주어진 사면체 \(ABCD\)에 대하여 정육면체 \(EFGH-IJKL\)은 다음 조건을 만족시킨다.
(1) 정사각형 \(IJKL\)은 면 \(BCD\)에 포함되고, 직선 \(IJ\)와 직선 \(BC\)는 서로 평행하다.
(2) 선분 \(EF\)는 면 \(ABC\)에 포함된다.
(3) 점 \(G\)는 면 \(ACD\)에, 점 \(H\)는 면 \(ABD\)에 포함된다.
<가> 오른쪽 그림과 같이 \(\overline{AB}=\overline{AC}=\overline{AD}=a\)이고 \(\overline{BC}=\overline{CD}=\overline{DB}=6\)인 사면체 \(ABCD\)가 있다. 점 \(A\)에서 삼각형 \(BCD\)에 내린 수선의 발을 \(O\), 점 \(O\)를 지나고 직선 \(BC\)에 평행한 직선이 선분 \(CD\)와 만나는 점을 \(P\)라 하자. (단, \(a > 2\sqrt{3}\))
<나> 제시문 <가>에서 주어진 사면체 \(ABCD\)에 대하여 정육면체 \(EFGH-IJKL\)은 다음 조건을 만족시킨다.(1) 정사각형 \(IJKL\)은 면 \(BCD\)에 포함되고, 직선 \(IJ\)와 직선 \(BC\)는 서로 평행하다.
(2) 선분 \(EF\)는 면 \(ABC\)에 포함된다.
(3) 점 \(G\)는 면 \(ACD\)에, 점 \(H\)는 면 \(ABD\)에 포함된다.
2-1 네 삼각형 \(DOP, AOD, AOP, APD\)의 넓이의 곱을 \(a\)에 관한 식으로 표현하시오. (15점)
2-2 평면 \(ACD\)가 평면 \(EFGH\)와 이루는 예각의 크기를 \(\theta_1\), 평면 \(ACD\)가 평면 \(FJKG\)와 이루는 예각의 크기를 \(\theta_2\), 평면 \(ACD\)가 평면 \(EIJF\)와 이루는 예각의 크기를 \(\theta_3\)이라 하자. \(\theta_1, \theta_2, \theta_3\) 중 가장 작은 것을 \(\theta\)라 할 때, \(\cos\theta = \frac{\sqrt{6}}{3}\)이 되도록 하는 \(a\)의 값을 모두 구하시오. (15점)
2-3 \(a=4\)일 때 정사각형 \(EIJF\)의 평면 \(ACD\) 위로의 정사영의 넓이를 구하시오. (20점)